mysql_fetch_array() 를 적용하기 보다 mysql_fetch_row 를 적용하세요.
속도면에서...

mysql_fetch_row() -> mysql_fetch_array() -> mysql_result()
앞쪽에 있는 것이 재일 빠르답니다.


그럼 질문에 소스를 수정해 보면...
$new_id = mysql_fetch_row(mysql_query("select max(id) from board"));
$dbresult=mysql_query("update board set id_num=$new_id[0] where id=$new_id[0]");

이렇게 사용하시면 되겠습니다.

참고)
mysql_fetch_row() : query 결과 값 접근시 번호로써 접근함.
예) $rows[0], $rows[1].....

mysql_fetch_array() : query 결과 값 접근시 번호 또는 필드명 으로 접근함.
예) $rows[0], $rows[1]... 또는 $rows[no], $rows[name]...

mysql_result() : 결과 값 접근시 row 와 field 번호로 접근합니다.
예) 사용법 : mysql_result($result, row, field);

$result = mysql_query("select no,name from test order by no");

[예제결과값]

field 0 field 1

▼ ▼

+-----------------+
| no | name |

+-----------------+

| 1 | test1 | <- row 0

| 2 | test2 | <- row 1

+-----------------+


mysql_result($result,0,0); // 1
mysql_result($result,0,1); // test1
mysql_result($result,1,0); // 2
mysql_result($result,1,1); // test2